رمزنگاری و رمزگشایی اطلاعات: اصول ریاضی و الگوریتم‌های پیشرفته
رمزنگاری (Cryptography) به عنوان یکی از ارکان اساسی امنیت اطلاعات، نقشی حیاتی در محافظت از داده‌ها در برابر دسترسی‌های غیرمجاز ایفا می‌کند. این مقاله به بررسی اصول بنیادین رمزنگاری، الگوریتم‌های متقارن و نامتقارن، و همچنین مبانی ریاضی پشت این فناوری‌ها می‌پردازد. با ارائه فرمول‌های دقیق ریاضی، سعی شده است تا مفاهیم پیچیده رمزنگاری به‌صورت شفاف و قابل‌درک ارائه گردند. در پایان، روش‌های رمزگشایی (Decryption) و چالش‌های امنیتی مرتبط با آن‌ها نیز مورد بررسی قرار می‌گیرد.
در عصر دیجیتال، انتقال و ذخیره‌سازی اطلاعات به‌صورت امن یکی از مهم‌ترین چالش‌های جوامع مدرن است. رمزنگاری به‌عنوان یک روش علمی برای پنهان‌کردن محتوای اطلاعات، این امکان را فراهم می‌آورد که داده‌ها تنها توسط افراد مجاز قابل خواندن باشند. این فرآیند شامل دو مرحله اصلی است:
رمزنگاری (Encryption): تبدیل متن ساده (Plaintext) به متن رمزشده (Ciphertext)
رمزگشایی (Decryption): بازگرداندن متن رمزشده به متن ساده با استفاده از کلید مناسب.
2. مبانی ریاضی رمزنگاری
2.1. توابع یک‌طرفه (One-way Functions)
توابع یک‌طرفه، توابعی هستند که محاسبه آن‌ها آسان است، اما معکوس‌کردن آن‌ها بدون داشتن اطلاعات اضافی (مانند کلید) بسیار دشوار است. به‌صورت ریاضی:
\[
f: \{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}^*
\]
به‌طوری که:
محاسبه \( f(x) \) در زمان چندجمله‌ای (Polynomial Time) امکان‌پذیر باشد.
محاسبه \( x \) از روی \( f(x) \) بدون دانش اضافی، در زمان نمایی (Exponential Time) باشد.
مثال کلاسیک: تابع \( f(x) = g^x \mod p \) در گروه‌های ضربی مدولار (Discrete Logarithm Problem).
2.2. توابع درهم‌ساز (Hash Functions)
توابع درهم‌ساز \( H: \{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}^n \) دارای خواص زیر هستند:
1. غیرقابل برگشت (Pre-image Resistance):
داده‌شده \( y \)، یافتن \( x \) به‌طوری که \( H(x) = y \) دشوار باشد.
2. مقاوم در برابر تصادم (Collision Resistance):
یافتن دو ورودی \( x_1 \neq x_2 \) به‌طوری که \( H(x_1) = H(x_2) \) دشوار باشد.
فرمول ریاضی:
\[
\forall x_1, x_2 \in \{0,1\}^*, \quad x_1 \neq x_2 \Rightarrow H(x_1) \neq H(x_2) \quad (\text{با احتمال بالا})
\]
3. رمزنگاری متقارن (Symmetric Cryptography)
در این روش، از یک کلید مشترک \( K \) برای رمزنگاری و رمزگشایی استفاده می‌شود.
3.1. الگوریتم AES (Advanced Encryption Standard)
AES یک الگوریتم بلوکی است که روی بلوک‌های 128 بیتی کار می‌کند و کلیدهای 128، 192 یا 256 بیتی دارد.
فرمول کلی رمزنگاری:
\[
C = E_K(P)
\]
و رمزگشایی:
\[
P = D_K(C)
\]
که در آن:
- \( P \): متن ساده (Plaintext)
- \( C \): متن رمزشده (Ciphertext)
- \( E_K \): تابع رمزنگاری با کلید \( K \)
- \( D_K \): تابع رمزگشایی با کلید \( K \)
AES بر پایه عملیات‌های جبری در میدان متناهی \( GF(2^8) \) ساخته شده است.
4. رمزنگاری نامتقارن (Asymmetric Cryptography)
در این روش، از یک جفت کلید استفاده می‌شود: کلید عمومی \( PK \) برای رمزنگاری و کلید خصوصی \( SK \) برای رمزگشایی.
4.1. سیستم RSA
الگوریتم RSA بر پایه سختی فاکتورگیری اعداد صحیح بزرگ است.
مراحل تولید کلید:
1. دو عدد اول بزرگ \( p \) و \( q \) انتخاب می‌شوند.
2. \( n = p \cdot q \)
3. \( \phi(n) = (p-1)(q-1) \)
4. عدد \( e \) به‌گونه‌ای انتخاب می‌شود که \( \gcd(e, \phi(n)) = 1 \)
5. \( d \equiv e^{-1} \mod \phi(n) \)
کلید عمومی: \( (e, n) \)
کلید خصوصی: \( (d, n) \)
رمزنگاری:
\[
C = P^e \mod n
\]
رمزگشایی:
\[
P = C^d \mod n
\]
اثبات صحت:
\[
C^d \equiv (P^e)^d = P^{ed} \equiv P \mod n
\]
چرا که \( ed \equiv 1 \mod \phi(n) \) و طبق قضیه اویلر:
\[
P^{\phi(n)} \equiv 1 \mod n \quad (\text{اگر } \gcd(P, n) = 1)
\]
5. رمزگشایی و امنیت
رمزگشایی موفق تنها زمانی امکان‌پذیر است که مهاجم به کلید مناسب دسترسی نداشته باشد. در رمزنگاری متقارن، امنیت کاملاً به محرمانه‌ماندن کلید \( K \) بستگی دارد. در رمزنگاری نامتقارن، امنیت بر پایه سختی مسائل ریاضی (مانند فاکتورگیری یا لگاریتم گسسته) استوار است.
5.1. حملات رایج
حمله نیروی خام (Brute-force): امتحان تمام کلیدهای ممکن.
حمله ریاضی (Cryptanalysis): بهره‌گیری از ضعف‌های ساختاری الگوریتم.
حمله مرد میانی (Man-in-the-Middle):** در سیستم‌های نامتقارن بدون تأیید هویت.
رمزنگاری و رمزگشایی اطلاعات، فرآیندهایی هستند که بر پایه مبانی محکم ریاضی — از جبر خطی و نظریه اعداد تا نظریه اطلاعات — بنا شده‌اند. پیشرفت‌های اخیر در رمزنگاری کوانتومی و رمزنگاری پساکوانتومی نشان می‌دهد که این حوزه همواره در حال تحول است. با این حال، درک عمیق از فرمول‌ها و الگوریتم‌های کلاسیک، پایه‌ای ضروری برای توسعه راهکارهای امنیتی آینده محسوب می‌شود.
1. Katz, J., & Lindell, Y. (2020). Introduction to Modern Cryptography. CRC Press.
2. Stinson, D. R., & Paterson, M. B. (2018). *Cryptography: Theory and Practice. CRC Press.
3. Rivest, R. L., Shamir, A., & Adleman, L. (1978). A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosyste. Communications of the ACM.
4. NIST. (2001). Advanced Encryption Standard (AES). FIPS PUB 197.
· 24 مهر · 
